Вход на сайт

Научные направления

Поделиться:

Статьи из раздела: Искусство памяти Джордано Бруно и теория категорий

Комбинаторная классификация представлений чётных чисел, кратных 6, в виде сумм чисел вида 6 𝑘 ± 1

Тождество Никомаха и его расширение

Действия со степенями

Комбинаторная классификация представлений чётных чисел, не кратных 6, в виде сумм чисел вида 6 𝑘 ± 1

Разделы: Математика
Размещена 17.03.2026. Последняя правка: 02.10.2026.
Просмотров - 2061

Аналитические соотношения для представления чётных чисел суммой двух простых чисел вида 6k±1(Бинарная гипотеза Гольдбаха)

Куконков Евгений Алексеевич

Отсутствует

Текстиль профи

Парковщик

Аннотация:

Исследованы аналитические соотношения между количеством простых чисел, не превышающих чётное число N, и количеством способов представления N в виде суммы двух простых чисел. Установлены формулы, связывающие функцию распределения простых чисел π(N) с числом представлений чётного числа N суммой двух простых вида 6k±1 для случаев, когда N кратно 6 и когда N не кратно 6. Показано, что для чисел N, кратных 6, справедливы точные соотношения, связывающие π(N), количество представлений h(N) и количество смешанных пар простое-составное Z. Для чисел N, не кратных 6, получены аналогичные соотношения с учётом дополнительных параметров неучаствующих в парах чисел. Результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования распределения простых чисел в контексте бинарной проблемы Гольдбаха.

Abstract:

Analytical relations between the number of primes not exceeding an even number N and the number of ways to represent N as a sum of two primes are investigated. Formulas connecting the prime counting function π(N) with the number of representations of even N as a sum of two primes of the form 6k±1 are established for cases where N is divisible by 6 and where N is not divisible by 6. It is shown that for numbers N divisible by 6, exact relations hold connecting π(N), the number of representations h(N), and the number of mixed prime-composite pairs Z. For numbers N not divisible by 6, similar relations are obtained taking into account additional parameters of numbers not participating in pairs. The results can be used for further research on the distribution of prime numbers in the context of the binary Goldbach problem.

Ключевые слова:

гипотеза Гольдбаха; бинарная проблема; простые числа; числа вида 6k±1; аналитические соотношения; функция распределения простых чисел

Keywords:

Goldbach conjecture; binary problem; prime numbers; numbers of the form 6k±1; analytical relations; prime counting function

УДК 511.3

Введение

Бинарная проблема Гольдбаха, сформулированная в 1742 году в переписке Кристиана Гольдбаха и Леонарда Эйлера [1, с. 125], утверждает, что каждое чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Несмотря на простоту формулировки, данная гипотеза остаётся недоказанной на протяжении почти трёх столетий и является одной из центральных нерешённых проблем теории чисел.

Существенный прогресс в изучении проблемы Гольдбаха был достигнут в XX веке. В 1937 году И.М. Виноградов методом тригонометрических сумм доказал, что любое достаточно большое нечётное число представимо в виде суммы трёх простых чисел (тернарная проблема Гольдбаха) [2, с. 139].

В 1966 году Чэнь Цзинжунь показал, что любое достаточно большое чётное число можно представить либо в виде суммы двух простых, либо в виде суммы простого числа и полупростого (произведения двух простых) [3, с. 385]; детали доказательства были опубликованы в 1973 году [4, с. 157].

В настоящей работе исследуются аналитические соотношения, связывающие количество простых чисел с количеством способов представления чётного числа в виде суммы двух простых чисел специального вида 6k±1. Такой подход основан на том, что все простые числа, кроме 2 и 3, представимы в виде 6k±1.

Актуальность

Изучение распределения простых чисел вида 6k±1 и их взаимосвязей при представлении чётных чисел в виде сумм имеет важное значение для понимания структуры множества простых чисел. Получение точных аналитических соотношений между функцией распределения простых чисел π(N) и количеством представлений чётного числа N в виде суммы двух простых позволяет уточнить оценки числа таких представлений и выявить скрытые закономерности в распределении простых чисел.

Актуальность работы обусловлена также тем, что бинарная проблема Гольдбаха остаётся нерешённой, и любые новые аналитические инструменты, позволяющие исследовать свойства представлений чётных чисел суммами простых, могут внести вклад в её решение

Цели, задачи, материалы и методы

Цель работы: выявить аналитические связи между функцией распределения простых чисел π(N) и числом способов, которыми чётное число N можно представить в виде суммы двух простых чисел, имеющих вид 6k±1.

Задачи:

Получить формулы, связывающие π(N) с количеством представлений для случая, когда N кратно 6
Аналогично вывести формулы для случая, когда N не кратно 6.
Установить соотношения для оценки количества пар чисел с заданными делителями.

Материалы: свойства простых чисел вида 6k±1, функция распределения простых чисел π(N), теорема о распределении простых чисел [5, с. 199; 6, с. 183].

Методы: аналитический метод теории чисел, методы комбинаторного анализа, асимптотические оценки, метод включения-исключения [11, с. 142].

Научная новизна: полученные результаты открывают новые горизонты в понимании закономерностей распределения простых чисел и их взаимосвязи с чётными числами. В данной работе были получены новые аналитические зависимости, которые связывают функцию распределения простых чисел с количеством способов представления чётных чисел в виде сумм простых чисел определённого вида. Эти зависимости отличаются от ранее известных результатов Виноградова [2] и Чэня [3; 4] тем, что некоторые из них являются точными, а не асимптотическими, и справедливы для конкретных классов чётных чисел — кратных и не кратных 6.

Основные результаты

Часть 1. Чётные числа N, кратные 6

Все простые числа, кроме 2 и 3, представимы в виде 6k±1. Если N кратно 6, то N можно представить в виде суммы чисел вида (6k₁−1) и (6k₂+1):

Формула 1. Связь между π(N), h(N) и Z:

При N−1 — простое число:

При N−1 — составное число:

где:

h(N) — количество уникальных способов представить N в виде суммы двух простых чисел вида 6k±1;

Z — количество уникальных способов представить N в виде суммы одного простого и одного составного числа (вида 6k±1).

Вывод: зная количество простых чисел до N, рассматриваем их распределение между h(N) и Z. В h(N) образуются пары из двух простых чисел (каждая пара содержит 2 простых), в Z — пары из простого и составного (содержат 1 простое).

Пример: для N = 24022026 (N−1 составное): π(N) = 1508430

Формула 2. Связь с количеством составных чисел:

При N−1 — простое число:

При N−1 — составное число:

где X — количество уникальных пар составных чисел вида 6k±1, дающих в сумме N.

Вывод: количество чисел вида 6k±1 до N равно N/3 − 1 (исключая 1). Вычитая количество простых, получаем количество составных, которое распределяется между парами составное-составное (2X) и смешанными парами (Z).

Формула 3. Выражение для h(N):

Вывод: получается сложением формул 1 и 2.

Формула 4. Связь между X и h(N):

При N - 1 = простое число

При N - 1 = составное число

Вывод: получается вычитанием формулы 1 из формулы 2.

Формула 5. Оценка количества пар с делителями:

Пусть (X+Z)_Р — сумма всех уникальных пар, в которых одно слагаемое делится на некоторое простое P. Тогда количество таких пар оценивается как:

Если НОД(N, P) = 1:

Если НОД(N, P) = P:

Погрешность оценки не превышает единицы.

Пример: для N = 318 и P = 7

НОД(318,7)=1:

Фактическое количество пар: 15.

Формула 6. Количество пар составных чисел вида 6k±1, дающих в сумме N, с учётом делимости на простое P

Пусть требуется оценить количество пар составных чисел вида 6k±1, сумма которых равна N, и при этом одно из слагаемых делится на простое число P.

Обозначим через X(P) количество таких пар.

НОД(N, P) = 1

НОД(N, P) = P

Вывод: Формула получается из Формулы 5 вычитанием пар, где хотя бы одно слагаемое является простым числом. При НОД(N,P)=1 из общего числа пар с делимостью на P исключаются пары, входящие в h(N) (оба слагаемых простые) и в Z (одно слагаемое простое, другое составное). Деление на (P−1) обусловлено тем, что простые числа, кратные P, исключаются из π(N) с коэффициентом, учитывающим распределение по классам вычетов.

Пример: N = 170316, P = 17, π(N) = 15525

Поскольку НОД(170316, 17) = 1, применяем первую формулу:

Фактическое количество пар: 2364

Погрешность: ≈ 0,18% (При N больше миллиона погрешность меньше одного процента.).

Часть 2. Чётные числа N, не кратные 6

Для чисел N ≡ 2 (mod 6) или N ≡ 4 (mod 6) условия образования пар усложняются, так как оба слагаемых должны быть одного вида: либо оба 6k−1, либо оба 6k+1.

Формула 1.2:

Где Tp — это количество простых чисел вида 6k ± 1, не образующих пар.

Если остаток от деления N на 6 равен 2, то Tp — это число простых чисел вида 6k - 1, меньших N. Если же остаток от деления N на 6 равен 4, то Tp — это число простых чисел вида 6k + 1, меньших N.

Формула 2.2:

где Tc — количество составных чисел вида 6k±1, не участвующих в образовании пар.
Если остаток от деления N на 6 равен 2, то Tс — это число простых чисел вида 6k + 1, меньших N. Если же остаток от деления N на 6 равен 4, то Tс — это число простых чисел вида 6k - 1, меньших N.

Формула 3.2:

Вывод: количество возможных пар сокращается вдвое вследствие новых условий образования: N = 6(k₁+k₂) ± 2.

Формула 4.2:

Формула 5.2. Для оценки Tc и Tp:

где Ac — превышение количества составных чисел вида 6k-1 над количеством составных чисел вида 6k+1; Ap — аналогичное превышение для простых чисел. Знаки: верхние при N ≡ 4 (mod 6), нижние при N ≡ 2 (mod 6).

Формула 6.2 Оценка количества пар с делителями:

Если НОД(N, P) = 1:

Если НОД(N, P) = P:

Формула 7.2. Количество пар составных чисел вида 6k±1, дающих в сумме N, с учётом делимости на простое P

Для чисел N ≡ 2 (mod 6) или N ≡ 4 (mod 6), где оба слагаемых должны быть одного вида (либо оба 6k−1, либо оба 6k+1), количество пар составных чисел с условием делимости на P оценивается следующим образом:

НОД(N, P) = 1

НОД(N, P) = P

Вывод: В соответствии с Формулой 3.2, для чисел, не кратных 6, количество возможных пар сокращается вдвое по сравнению с числами, кратными 6, вследствие ограничения на тип слагаемых. Соответственно, оценка для X(P) получается делением на 2 соответствующей формулы для чисел, кратных 6.

Пример: N = 17336, P = 23, π(N) = 1993

Поскольку НОД(17336, 23) = 1 и 17336 ≡ 2 (mod 6), применяем первую формулу:

Фактическое количество пар: 80

Погрешность: ≈ 0,2% (При N больше миллиона погрешность меньше одного процента.).

Формула 1.3

Формула, которая считает приближённое (для N>10 в 6 погрешность менее 1%, для N>10 в 9 погрешность менее 0,001%) количество пар составных чисел вида 6k±1, сумма которых равна N, при условии, что хотя бы одно из слагаемых делится на одно из простых из заданного набора P={P1,…,Pm}?

N mod 6 = 0

nod (N,P)=1

P-нечётные простые, начиная с 5.

N mod 6 = 2 v 4

nod (N,P)=1

P-нечётные простые, начиная с 5.

Формула 1.4 Лучшая известная аппроксимация количества пар простых, дающих в сумме N.

N mod 6 = 0

P-нечётные простые, начиная с 5.

Таблица 1.

N	m	π(N)	G(N)	Формула	Разница	Ошибка, %	p \| N
5000001000	7002	234 954 271	19 834 601	19 762 550.45	-72 050.55	0.36	5, 47, 35461
5000001006	7002	234 954 271	21 224 878	21 138 406.85	-86 471.15	0.41	7, 11, 13, 673, 1237
5000001012	7002	234 954 273	16 047 740	15 985 031.78	-62 708.22	0.39	19, 29, 443, 569
5000001018	7002	234 954 273	14 558 899	14 499 288.65	-59 610.35	0.41	-
5000001024	7002	234 954 274	14 555 733	14 499 288.76	-56 444.24	0.39	-
5000001030	7002	234 954 275	19 734 304	19 660 052.71	-74 251.29	0.38	5, 61
5000001036	7002	234 954 275	16 112 209	16 044 740.51	-67 468.49	0.42	17, 31, 439, 1801
5000001042	7002	234 954 276	15 000 795	14 942 947.92	-57 847.08	0.39	43, 167
5000001048	7002	234 954 276	17 466 327	17 399 146.73	-67 180.27	0.38	7
5000001054	7002	234 954 276	14 560 347	14 504 750.05	-55 596.95	0.38	2657
5000001060	7002	234 954 276	19 408 761	19 332 385.21	-76 375.79	0.39	5
5000001066	7002	234 954 276	14 554 552	14 499 288.88	-55 263.12	0.38	-
5000001072	7002	234 954 276	16 194 616	16 130 502.29	-64 113.71	0.40	11, 863, 10973
5000001078	7002	234 954 276	14 555 496	14 500 328.82	-55 167.18	0.38	22159, 37607
5000001084	7002	234 954 276	15 876 946	15 817 405.99	-59 540.01	0.38	13
5000001090	7002	234 954 276	23 444 390	23 354 559.15	-89 830.85	0.38	5, 7, 151
5000001096	7002	234 954 276	15 244 519	15 189 731.11	-54 787.89	0.36	23
5000001102	7002	234 954 276	14 581 300	14 520 769.19	-60 530.81	0.42	677
5000001108	7002	234 954 277	14 558 647	14 500 721.35	-57 925.65	0.40	17959, 23201
5000001114	7002	234 954 278	14 667 585	14 611 541.33	-56 043.67	0.38	229, 311, 11701
5000001120	7002	234 954 278	19 405 437	19 332 385.29	-73 051.71	0.38	5
5000001126	7002	234 954 278	15 412 015	15 352 188.30	-59 826.70	0.39	19
5000001132	7002	234 954 279	18 015 207	17 945 640.41	-69 566.59	0.39	7, 53, 89, 12619
5000001138	7002	234 954 280	17 561 475	17 497 645.16	-63 829.84	0.36	11, 17, 59, 1481
5000001144	7002	234 954 280	14 572 511	14 514 314.33	-58 196.67	0.40	967
5000001150	7002	234 954 280	19 420 418	19 342 154.56	-78 263.44	0.40	5, 2293, 14537
5000001156	7002	234 954 281	14 558 267	14 499 289.25	-58 977.75	0.41	-
5000001162	7002	234 954 281	16 039 809	15 977 178.21	-62 630.79	0.39	13, 101
5000001168	7002	234 954 281	15 000 684	14 943 460.43	-57 223.57	0.38	41, 211, 12041
5000001174	7002	234 954 282	17 842 409	17 776 838.28	-65 570.72	0.37	7, 83, 113, 4231
5000001180	7002	234 954 282	19 408 520	19 332 385.73	-76 134.27	0.39	5
5000001186	7002	234 954 282	15 095 066	15 036 299.99	-58 766.01	0.39	29
5000001192	7002	234 954 283	14 767 725	14 709 424.02	-58 300.98	0.39	71
5000001198	7002	234 954 283	14 553 255	14 499 289.37	-53 965.63	0.37	-
5000001204	7002	234 954 283	16 189 752	16 128 275.17	-61 476.83	0.38	11, 1439, 2393
5000001210	7002	234 954 283	19 428 440	19 353 940.13	-74 499.87	0.38	5, 1063, 5807
5000001216	7002	234 954 283	17 968 629	17 896 265.67	-72 363.33	0.40	7, 37
5000001222	7002	234 954 283	15 057 732	14 999 264.79	-58 467.21	0.39	31
5000001228	7002	234 954 283	14 779 085	14 722 355.26	-56 729.74	0.38	67
5000001234	7002	234 954 284	15 260 167	15 199 424.68	-60 742.32	0.40	23, 1693, 21401
5000001240	7002	234 954 284	23 915 395	23 821 554.32	-93 840.68	0.39	5, 13, 17, 19, 9923
5000001246	7002	234 954 284	14 556 001	14 499 289.35	-56 711.65	0.39	-
5000001252	7002	234 954 284	14 553 662	14 499 289.33	-54 372.67	0.37	-
5000001258	7002	234 954 284	17 465 416	17 399 147.17	-66 268.83	0.38	7
5000001264	7002	234 954 284	14 837 874	14 779 114.78	-58 759.22	0.40	73, 331, 479
5000001270	7002	234 954 284	21 562 525	21 480 428.54	-82 096.46	0.38	5, 11
5000001276	7002	234 954 284	14 552 394	14 499 289.25	-53 104.75	0.36	-
5000001282	7002	234 954 284	14 913 068	14 853 039.51	-60 028.49	0.40	47, 491, 12037
5000001288	7002	234 954 285	14 696 529	14 637 377.81	-59 151.19	0.40	107
5000001294	7002	234 954 285	14 646 974	14 592 833.12	-54 140.88	0.37	157
5000001300	7002	234 954 286	23 855 182	23 765 976.73	-89 205.27	0.37	5, 7, 43, 18457

N mod 6 =2 v 4

P-нечётные простые, начиная с 5.

Таблица 2.

N	m	π(N)	G(N)	Формула	Разница	Ошибка, %
1000000000	3399	50 847 534	2 274 205	2 261 548.35	-12 656.65	0.56
1000000004	3399	50 847 534	1 747 858	1 739 664.27	-8 193.73	0.47
1000000006	3399	50 847 534	1 704 301	1 696 161.26	-8 139.74	0.48
1000000010	3399	50 847 536	2 422 662	2 412 318.83	-10 343.17	0.43
1000000012	3399	50 847 536	1 960 129	1 951 842.75	-8 286.25	0.42
1000000016	3399	50 847 536	1 704 555	1 696 161.40	-8 393.60	0.49
1000000018	3399	50 847 536	1 703 977	1 696 161.37	-7 815.63	0.46
1000000022	3399	50 847 537	2 056 236	2 046 769.82	-9 466.18	0.46
1000000024	3399	50 847 537	1 703 223	1 696 161.44	-7 061.56	0.41
1000000028	3399	50 847 537	1 720 047	1 712 253.41	-7 793.59	0.45
1000000030	3399	50 847 537	2 274 081	2 265 091.28	-8 989.72	0.40
1000000034	3399	50 847 538	1 893 735	1 884 623.91	-9 111.09	0.48
1000000036	3399	50 847 538	2 105 345	2 093 654.17	-11 690.83	0.56
1000000040	3399	50 847 538	2 572 795	2 559 021.43	-13 773.57	0.54
1000000042	3399	50 847 538	1 704 957	1 697 071.50	-7 885.50	0.46
1000000046	3399	50 847 538	1 763 094	1 756 912.20	-6 181.80	0.35
1000000048	3399	50 847 538	1 704 634	1 696 161.48	-8 472.52	0.50
1000000052	3399	50 847 538	1 704 355	1 696 161.46	-8 193.54	0.48
1000000054	3399	50 847 538	1 721 027	1 713 610.96	-7 416.04	0.43
1000000058	3399	50 847 538	1 837 959	1 829 504.88	-8 454.12	0.46

Численные эксперименты для значений , близких к $^9$ , показывают, что предложенная формула систематически занижает число представлений . Относительная ошибка на приведённой выборке находится в пределах , а среднее значение составляет приблизительно . Полученный результат следует рассматривать как эмпирическую проверку аппроксимации; доказательство равномерной оценки ошибки не приводится.

Заключение

Результаты и выводы

В работе установлены новые аналитические соотношения для представления чётных чисел суммами простых чисел вида 6k±1. Основные результаты:

Для чётных чисел N, кратных 6, получены точные линейные соотношения между функцией распределения простых чисел π(N), количеством представлений h(N) в виде суммы двух простых и количеством смешанных пар Z. Данные соотношения позволяют вычислять любой из параметров через два других.
Для чётных чисел N, не кратных 6, установлены аналогичные соотношения с учётом дополнительных параметров Tp и Tc — количеств простых и составных чисел, не участвующих в образовании пар.
Получены оценки для количества пар чисел, в которых одно слагаемое делится на заданное простое число P, с погрешностью не более единицы.
Показано, что для чисел, кратных 6, погрешность формул отсутствует, а для чисел, не кратных 6, погрешность не превышает 2.
Получены формулы для оценки количества пар составных чисел вида 6k±1, дающих в сумме N, с учётом делимости на заданное простое число P (Формулы 6 и 7.2), с погрешностью менее одного процента.

Научная новизна результатов заключается в установлении точных (не асимптотических) соотношений, справедливых для всех чётных чисел, а не только для «достаточно больших», как в классических результатах Виноградова [2] и Чэня [3; 4].

Полученные формулы могут быть использованы для дальнейшего исследования свойств распределения простых чисел [5; 6; 7] и разработки новых подходов к доказательству бинарной гипотезы Гольдбаха.

Библиографический список:

1. Hardy G.H., Littlewood J.E. Some problems of 'Partitio Numerorum'. III: On the expression of a number as a sum of primes // Acta Mathematica. — 1923. — Vol. 44. — P. 1–70.
2. Vinogradov I.M. Representation of an odd number as a sum of three primes // Comptes Rendus (Doklady) de l'Academy des Sciences de l'USSR. — 1937. — Vol. 15. — P. 191–294.
3. Chen J.R. On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes // Sci. Sinica. — 1973. — Vol. 16. — P. 157–176.
4. Helfgott H.A. The ternary Goldbach conjecture is true // arXiv:1312.7748 [math.NT]. — 2013.
5. Montgomery H.L., Vaughan R.C. The exceptional set in Goldbach's problem // Acta Arithmetica. — 1975. — Vol. 27. — P. 353–370.
6. Ramaré, O. On Šnirel'man's constant // Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. — 1995. — Vol. 22. — P. 645–706.
7. Deshouillers J.M., te Riele H.J.J., Saouter Y. New experimental results concerning the Goldbach conjecture // Algorithmic Number Theory. — 1998. — P. 204–215.
8. Borozdkin K.G. On I.M. Vinogradov's constant // Proc. 3rd All-Union Math. Conf. — 1956. — Vol. 1. — Moscow: Izdat. Akad. Nauk SSSR. — P. 3. (in Russian)
9. Wang T., Chen J.R. On odd Goldbach problem // Acta Math. Sinica. — 1989. — Vol. 32. — P. 702–718.

Комментарии пользователей:

23.03.2026, 18:12 Цорин Борис Иосифович
Отзыв: В работе самопротиворечие. "Научная новизна результатов заключается в установлении точных (не асимптотических) соотношений" и неоднократное обнаружение "погрешности".

24.03.2026, 9:20 Куконков Евгений Алексеевич
Отзыв: Уважаемый Борис Иосифович Цорин, я исправил ошибку в тексте, как вы указали. Теперь фраза звучит так: «Часть полученных формул точные (а не асимптотические)».

Оставить комментарий

E-mail: sci@sci-article.ru
©2013-2026 Электронный периодический научный журнал SCI-ARTICLE.RU
Любое использование размещённых на сайте журнала статей и материалов возможно только с обязательной активной ссылкой на сайт журнала «SCI-ARTICLE.RU».

▲
Вверх

E-mail:
Пароль:
Запомнить
	Регистрация/ Забыли пароль?