Разделы: Математика
Размещена 17.03.2026. Последняя правка: 04.05.2026.
Просмотров - 635

Аналитические соотношения для представления чётных чисел суммой двух простых чисел вида 6k±1

Куконков Евгений Алексеевич

Отсутствует

Текстиль профи

Парковщик

УДК 511.3

Введение

Бинарная проблема Гольдбаха, сформулированная в 1742 году в переписке Кристиана Гольдбаха и Леонарда Эйлера, утверждает, что каждое чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Несмотря на простоту формулировки, данная гипотеза остаётся недоказанной на протяжении почти трёх столетий и является одной из центральных нерешённых проблем теории чисел.

Существенный прогресс в изучении проблемы Гольдбаха был достигнут в XX веке. В 1937 году И.М. Виноградов методом тригонометрических сумм доказал, что любое достаточно большое нечётное число представимо в виде суммы трёх простых чисел (тернарная проблема Гольдбаха).

В 1966 году Чэнь Цзинжунь показал, что любое достаточно большое чётное число можно представить либо в виде суммы двух простых, либо в виде суммы простого числа и полупростого (произведения двух простых).

Актуальность

Изучение распределения простых чисел вида 6k±1 и их взаимосвязей при представлении чётных чисел в виде сумм имеет важное значение для понимания структуры множества простых чисел. Получение точных аналитических соотношений между функцией распределения простых чисел π(N) и количеством представлений чётного числа N в виде суммы двух простых позволяет уточнить оценки числа таких представлений и выявить скрытые закономерности в распределении простых чисел.

Актуальность работы обусловлена также тем, что бинарная проблема Гольдбаха остаётся нерешённой, и любые новые аналитические инструменты, позволяющие исследовать свойства представлений чётных чисел суммами простых, могут внести вклад в её решение

Цель работы: установить аналитические соотношения между функцией распределения простых чисел π(N) и количеством способов представления чётного числа N в виде суммы двух простых чисел вида 6k±1.

Задачи:

1. Вывести формулы, связывающие π(N) с количеством представлений для случая N, кратного 6.

2. Вывести аналогичные формулы для случая N, не кратного 6.

3. Установить соотношения для оценки количества пар чисел с заданными делителями.

Материалы: свойства простых чисел вида 6k±1, функция распределения простых чисел π(N), теорема о распределении простых чисел.

Методы: аналитический метод теории чисел, методы комбинаторного анализа, асимптотические оценки.

Научная новизна

В работе установлены новые аналитические соотношения, связывающие функцию распределения простых чисел с количеством представлений чётных чисел в виде сумм простых чисел специального вида. В отличие от известных результатов Виноградова и Чэня, часть полученных формул являются точными (а не асимптотическими) и справедливы для конкретных классов чётных чисел (кратных и не кратных 6).

Установлено, что для чисел N, кратных 6, количество простых чисел π(N) связано с количеством представлений h(N) и количеством смешанных пар Z линейными соотношениями, позволяющими вычислять один параметр через два других. Для чисел, не кратных 6, получены аналогичные соотношения с учётом дополнительных параметров неучаствующих в образовании пар чисел. Установлены точные соотношения для подсчёта пар составных чисел с заданными свойствами делимости, позволяющие раздельно оценивать вклад составных чисел в общую структуру представлений чётных чисел суммами чисел вида 6k±1.

Основные результаты

Часть 1. Чётные числа N, кратные 6

Все простые числа, кроме 2 и 3, представимы в виде 6k±1. Если N кратно 6, то N можно представить в виде суммы чисел вида (6k₁−1) и (6k₂+1):

Формула 1. Связь между π(N), h(N) и Z:

При N−1 — простое число:

 

 

При N−1 — составное число:

где:

h(N) — количество уникальных способов представить N в виде суммы двух простых чисел вида 6k±1;

Z — количество уникальных способов представить N в виде суммы одного простого и одного составного числа (вида 6k±1).

Вывод: зная количество простых чисел до N, рассматриваем их распределение между h(N) и Z. В h(N) образуются пары из двух простых чисел (каждая пара содержит 2 простых), в Z — пары из простого и составного (содержат 1 простое).

Пример: для N = 24022026 (N−1 составное): π(N) = 1508430

 

Формула 2. Связь с количеством составных чисел:

При N−1 — простое число:

При N−1 — составное число:






где X — количество уникальных пар составных чисел вида 6k±1, дающих в сумме N.

Вывод: количество чисел вида 6k±1 до N равно N/3 − 1 (исключая 1). Вычитая количество простых, получаем количество составных, которое распределяется между парами составное-составное (2X) и смешанными парами (Z).

Формула 3. Выражение для h(N):

Вывод: получается сложением формул 1 и 2.

Формула 4. Связь между X и h(N):

При N - 1 = простое число

При N - 1 = составное число

Вывод: получается вычитанием формулы 1 из формулы 2.

Формула 5. Оценка количества пар с делителями:

Пусть (X+Z)_Р — сумма всех уникальных пар, в которых одно слагаемое делится на некоторое простое P. Тогда количество таких пар оценивается как:

Если НОД(N, P) = 1:

Если НОД(N, P) = P:

Погрешность оценки не превышает единицы.

Пример: для N = 318 и P = 7

НОД(318,7)=1:

Фактическое количество пар: 15.

Формула 6. Количество пар составных чисел вида 6k±1, дающих в сумме N, с учётом делимости на простое P

Пусть требуется оценить количество пар составных чисел вида 6k±1, сумма которых равна N, и при этом одно из слагаемых делится на простое число P.

Часть 2. Чётные числа N, не кратные 6

Для чисел N ≡ 2 (mod 6) или N ≡ 4 (mod 6) условия образования пар усложняются, так как оба слагаемых должны быть одного вида: либо оба 6k−1, либо оба 6k+1.

Формула 1.2:




Где Tp — это количество простых чисел вида 6k ± 1, не образующих пар.

Если остаток от деления N на 6 равен 2, то Tp — это число простых чисел вида 6k - 1, меньших N. Если же остаток от деления N на 6 равен 4, то Tp — это число простых чисел вида 6k + 1, меньших N.

Формула 2.2:

где Tc — количество составных чисел вида 6k±1, не участвующих в образовании пар.
Если остаток от деления N на 6 равен 2, то Tс — это число простых чисел вида 6k + 1, меньших N. Если же остаток от деления N на 6 равен 4, то Tс — это число простых чисел вида 6k - 1, меньших N.

Формула 3.2:

Вывод: количество возможных пар сокращается вдвое вследствие новых условий образования: N = 6(k₁+k₂) ± 2.

Формула 4.2:

Формула 5.2. Для оценки Tc и Tp:

где Ac — превышение количества составных чисел вида 6k-1 над количеством составных чисел вида 6k+1; Ap — аналогичное превышение для простых чисел. Знаки: верхние при N ≡ 4 (mod 6), нижние при N ≡ 2 (mod 6).

Формула 6.2 Оценка количества пар с делителями:

 

P-нечётные простые, начиная с 5.

σ_k,1  =1 при к=1 и к=0

π(N)=π

 

Заключение

Результаты и выводы

В работе установлены новые аналитические соотношения для представления чётных чисел суммами простых чисел вида 6k±1. Основные результаты:

1. Для чётных чисел N, кратных 6, получены точные линейные соотношения между функцией распределения простых чисел π(N), количеством представлений h(N) в виде суммы двух простых и количеством смешанных пар Z. Данные соотношения позволяют вычислять любой из параметров через два других.

2. Для чётных чисел N, не кратных 6, установлены аналогичные соотношения с учётом дополнительных параметров Tp и Tc — количеств простых и составных чисел, не участвующих в образовании пар.

3. Получены оценки для количества пар чисел, в которых одно слагаемое делится на заданное простое число P, с погрешностью не более единицы.

4. Показано, что для чисел, кратных 6, погрешность формул отсутствует, а для чисел, не кратных 6, погрешность не превышает 2.

5. Получены формулы для оценки количества пар составных чисел вида 6k±1, дающих в сумме N, с учётом делимости на заданное простое число P (Формулы 6 и 7.2), с погрешностью менее одного процента.

Научная новизна результатов заключается в установлении точных (не асимптотических) соотношений, справедливых для всех чётных чисел, а не только для «достаточно больших», как в классических результатах Виноградова и Чэня.

Полученные формулы могут быть использованы для дальнейшего исследования свойств распределения простых чисел и разработки новых подходов к доказательству бинарной гипотезы Гольдбаха.

1. Hardy G.H., Littlewood J.E. Some problems of 'Partitio Numerorum'. III: On the expression of a number as a sum of primes // Acta Mathematica. — 1923. — Vol. 44. — P. 1–70.
2. Vinogradov I.M. Representation of an odd number as a sum of three primes // Comptes Rendus (Doklady) de l'Academy des Sciences de l'USSR. — 1937. — Vol. 15. — P. 191–294.
3. Chen J.R. On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes // Sci. Sinica. — 1973. — Vol. 16. — P. 157–176.
4. Helfgott H.A. The ternary Goldbach conjecture is true // arXiv:1312.7748 [math.NT]. — 2013.
5. Montgomery H.L., Vaughan R.C. The exceptional set in Goldbach's problem // Acta Arithmetica. — 1975. — Vol. 27. — P. 353–370.
6. Ramaré, O. On Šnirel'man's constant // Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. — 1995. — Vol. 22. — P. 645–706.
7. Deshouillers J.M., te Riele H.J.J., Saouter Y. New experimental results concerning the Goldbach conjecture // Algorithmic Number Theory. — 1998. — P. 204–215.
8. Borozdkin K.G. On I.M. Vinogradov's constant // Proc. 3rd All-Union Math. Conf. — 1956. — Vol. 1. — Moscow: Izdat. Akad. Nauk SSSR. — P. 3. (in Russian)
9. Wang T., Chen J.R. On odd Goldbach problem // Acta Math. Sinica. — 1989. — Vol. 32. — P. 702–718.

Комментарии пользователей:

23.03.2026, 18:12 Цорин Борис Иосифович Отзыв: В работе самопротиворечие. "Научная новизна результатов заключается в установлении точных (не асимптотических) соотношений" и неоднократное обнаружение "погрешности".

24.03.2026, 9:20 Куконков Евгений Алексеевич Отзыв: Уважаемый Борис Иосифович Цорин, я исправил ошибку в тексте, как вы указали. Теперь фраза звучит так: «Часть полученных формул точные (а не асимптотические)».

Оставить комментарий