Разделы: Математика
Размещена 03.07.2026. Последняя правка: 06.07.2026.
Просмотров - 116

Действия со степенями

Дудин Александр Тимофеевич

нет

не работаю

пенсионер

УДК 511

Введение. Кратко напомним действия сложения и вычитания чисел со степенями:

8*a^n + 2*a^n = 10*a^n

8*a^n - 2*a^n = 6*a^n

Примем: а - основание степени, равное 7, n – показатель степени, равный 3 и проведём вычисления:

8*7^3+2*7^3 = 10*7^3  

8(343) + 2(343) = 10(343) = 3430

8*a^n - 2*a^n = 6*a^n

8*7^3 - 2*7^3 = 6*7^3  

8(343) - 2(343) = 6(343) = 2058

В данных примерах основания степени одинаковые и показатели степени одинаковые, поэтому такая запись правомерна:

8*a^n + 2*a^n = 10*a^n

8*a^n - 2*a^n = 6*a^n

Но если изменим основание степени или показатель степени, то вычисления сложения и вычитания могут идти только по отдельности.

Для примера примем основания а = 5 и b = 3

8*a^3 + 2*b^3 = 8*a^3 + 2*b^3

8*a^3 - 2*b^3 = 8*a^3 - 2*b^3

Тем более изменяя показатель степени.

Допустим основание степени равно а, показатели  степени n и m

8*a^n + 2*a^m = 8*a^n + 2*a^m

8*a^n - 2*a^m = 8*a^n - 2*a^m

При разных основаниях и разных показателях вычисления проводятся по отдельности.

8*a^n + 2*b^m = 8*a^n + 2*b^m

8*a^n - 2*b^m = 8*a^n - 2*b^m

Изучая сложения и вычитания со степенями, возник вопрос, если вариант: «Числа возвести в степень, и сложить, и часть этих и/или другие числа сначала сложить, а затем возвести в другую степень, и можно ли между этими операциями поставить знак равно?»

В качестве опорных источников применили: [1]; [2]; [3], [4].

Рассмотрим сначала тождество Никомаха

Источник [4], показывает, что в теории такая тема была проработана, но она представляет лишь частный случай.

1^3+2^3+3^3 + … +n^3 = (1+2+3+…+n)^2

Она вызывает интерес и её хочется расширить

Актуальность поднимаемого вопроса очевидна, и при его положительном решении, получаем новый инструмент в теории чисел.

Цель работы, расширить действия сложения и вычитания со степенями.

Научная новизна заключается в том, что подобные вопросы не рассматривались и не изучались в теории чисел.

Приведём примеры тождества Никомаха.

1.  1^3 +2^3 +3^3 = (1+2+3)^2

1+8+27 = 36 = ( 6)^2

36 = 36

 

2.  1^3+2^3+3^3+4^3 = (1+2+3+4)^2 = 100

1+8+27+64 = 10^2 = 100

100 = 100

 

3.  1^3+2^3+3^3+4^3+5^3 = (1+2+3+4+5)^2 = 225

1+ 8+27+64+125 = 225

(1+2+3+4+5)^2 = 15^2 = 225

225 = 225

 

4.  1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3 = (1+2+3+4+5+6)^2 = 21^2 = 441

1+ 8+27+64+125 +216 = 441

441 = 441

 

5.  1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3 +7^3 = (1+2+3+4+5+6+7)^2 = 28^2 = 784

441+343 = 784

784 = 784

 

6.  1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3 +7^3+8^3 = (1+2+3+4+5+6+7+8)^2 = 36^2 = 1296

784+ 512 = 1296

1296 = 1296

 

7.  1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3 +7^3+8^3+9^3 = (1+2+3+4+5+6+7+8+9 )^2 = 36+9 = 45^2 = 2025

1296 +729 = 2025

2025 = 2025

 

8.  1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3 +7^3+8^3+9^3 +10^3 = (1+2+3+4+5+6+7+8+9 +10)^2  = 55^2 = 3025

2025 + 1000 = 3025

3025 = 3025

 

9.  1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3 +10^3+11^3 = (1+2+3+4+5+6+7+8+9 +10 +11)^2 = 66^2 = 4356 

3025 + 11^3 = 3025 + 1331 = 4356

4356 = 4356

 

Такие вычисления можно продолжать бесконечно долго.

 

Тождество Никомаха можно преобразовать в следующий вид:

 

Числа натурального ряда берём только чётные.

Запишем приведённые примеры только с чётными числами.

 

1.  2^3  = 2*(2)^2

     8 = 8

 

2.  2^3+4^3 = 2*(2+4)^2 = 72

     8+ 64 = 72

     2*36 = 72

 

4.  2^3+4^3+6^3 = 2*(2+4+6)^2 = 2*12^2 = 288

     8+64+216 = 288

     288 = 288

 

6.  2^3+4^3+6^3+8^3 = 2*(2+4+6+8)^2 = 2*20^2 = 800

     288 + 8^3 = 288+512 = 800

     800 = 800

 

8.  2^3+4^3+6^3+8^3+10^3 = 2*(2+4+6+8+10)^2  = 2*30^2 = 1800

800+1000 = 1800

2*30^2 = 2*900 = 1800

 

Заключение.  Расширяем тождество Никомаха. С натурального ряда чисел берём, только чётные числа. Эти числа возводим в одну степень и складываем между собой, и приравниваем к сумме этих чисел, возведённых в другую степень, умножая на соответствующий коэффициент.  

Выводы.  Для чётных чисел с натурального ряда найдено решение, где каждое чётное число по порядку возводим в третью степень, и эти числа в третьей степени складываем, всё это приравниваем к сумме этих чисел, возведённых во вторую степень, умноженную на коэффициент 2. Это найденное решение расширяет теорию чисел, даёт новую формулу и новые возможности решения новых задач, и поиска новых возможностей и теорий.

 

 

1. При Сложении Степени Что Делают С Разными Степенями [Электронный ресурс] – URL: https://zigzag-24.ru/blog/pri-slozhenii-stepeni-chto-delayut-s-raznymi-stepenyami/?utm_referrer=https%3A%2F%2Fyandex.ru%2F (дата обращения: 28.06.2026)
2. Когда числа складываются что происходит со степенями [Электронный ресурс] – URL: https://tul.se-pro.ru/articles/kogda-chisla-skladyvayutsya-chto-proishodit-so-stepenyami.html (дата обращения: 28.06.2026)
3. Суммирование степеней чисел натурального ряда с помощью арифметических прогрессий с переменными разностями [Электронный ресурс] – URL: https://cyberleninka.ru/article/n/summirovanie-stepeney-chisel-naturalnogo-ryada-s-pomoschyu-arifmeticheskih-progressiy-s-peremennymi-raznostyami/viewer (дата обращения: 28.06.2026) 4. Тождество Никомаха — Википедия [Электронный ресурс] – URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Тождество_Никомаха / (дата обращения: 06.07.2026)

Комментарии пользователей:

3.07.2026, 22:00 Харт Алекс Отзыв: Блестяще! Вы "гений", Александр Тимофеевич! "Абелевскую" премию Вам! Ура! А теперь загуглите. https://ru.wikipedia.org/wiki/Тождество_Никомаха

4.07.2026, 11:07 Дудин Александр Тимофеевич Отзыв: Спасибо, Харт Алекс! За Ваш поиск. Статью отредактирую.

Оставить комментарий